Criterios de conexión y grados de separación

La pregunta sobre el número de Erdős planteada la semana pasada era una pequeña broma —a la par que un pequeño homenaje— a las y los comentaristas que, con sus enjundiosas aportaciones, hacen de El juego de la ciencia algo más que una mera sección de pasatiempos lógico-matemáticos. Y también una reivindicación de la matemática recreativa, pues no solo en los papers de las publicaciones académicas se cuecen las ideas. Mi número de Erdős es 3, puesto que colaboré con Raymond Smullyan, cuyo nE es 2 (no colaboró directamente con Erdős, pero sí con algunos de sus colaboradores), por lo que a quienes a lo largo de estos diez años han hecho aportaciones a la sección les corresponde, con todo derecho, un nE = 4 (por lo menos). Como dice Juan Zubieta: “Si participar en este foro aportando alguna solución se considera a este efecto como colaboración, apuesto a que nos sobran dedos en la mano para contar nuestro número de Erdős”.

El número de Erdős tiene que ver con la consabida teoría de los seis grados de separación, según la cual cualquier persona está conectada a cualquier otra por una cadena de no más de cinco intermediarios. Obviamente, todo depende del concepto de conexión del que partamos: no es lo mismo conocer a alguien que colaborar con él en un artículo. O en una película, pues también existe el número de Bacon: nB 1 corresponde a los que han participado con el prolífico actor Kevin Bacon en alguna película, nB 2 a los que han trabajado junto a alguno de estos, y así sucesivamente.

Como anécdota curiosa, no son pocas las personas que detentan los dos números a la vez, por lo que también existe el número de Erdős-Bacon, que es la suma de ambos. Por ejemplo, Richard Feynman (que apareció en la película Anti-Reloj) tiene un nEB = 6 (3 + 3). Que también es el mío, por cierto (lamentablemente, es lo único en lo que igualo al gran Feynman).

Hay personas relevantes en todos los campos y distintos criterios de conexión a partir de los cuales establecer “números de” interesantes o, cuando menos, curiosos. Por ejemplo, tu número de Sinner es 1 si has jugado a tenis con el número uno mundial, 2 si has jugado con alguien que haya jugado con él… Invito a mis sagaces lectoras y lectores a plantear nuevos “números de” interesantes.

El teorema de Erdős-Szekeres

En cuanto al Teorema de Erdős-Szekeres, Francisco Montesinos opina que “no es tan complicado como a primera vista pudiera parecer. La idea, calificada como la más astuta por un buen conocedor de las distintas demostraciones del teorema, consiste en asociar a toda sucesión finita de números naturales N1, N2, … N(n) de tamaño n = (r-1)(s-1), siendo r y s dos números naturales, otra sucesión del mismo tamaño: p1, p2,… p(n), siendo p(i) = [a(i), b(i)] un par ordenado de números obtenidos de la forma siguiente: p1 = (1, 1) y definido p(i) = [a(i), b(i)], se pone p(i+1) = [a(i)+1, b(i)] si en la sucesión dada N(i+1) > N(i), y p(i+1) = [a(i), b(i)+1] en caso contrario, pues suponemos que en la sucesión dada los términos son todos distintos.

Como la sucesión {p(i)} consta de n = (r-1)(s-1) términos llamados etiquetas, si en ninguna de esas etiquetas aparece una r o una s, es obvio que al añadir un nuevo término a la sucesión dada necesariamente aparecerá una etiqueta con una r o una s, lo que demuestra el teorema”.

Tiene razón FM, no es tan complicado como parece a primera vista: lo es más. Pero, a pesar de las altas temperaturas, vale la pena dedicarle unos minutos de esfuerzo mental, pues se trata de una idea realmente astuta.