Palomas y recubrimientos

Los tres problemas “palomeros” planteados la semana pasada, a pesar de su relativa sencillez, suscitaron numerosos e interesantes comentarios.

El primero es el más sencillo: si lanzamos un dado 12 veces, podría suceder, aunque es poco probable (¿cuán poco probable?), que cada uno de los seis números saliera dos veces, por lo que habrá que lanzarlo 13 veces para tener la certeza absoluta de que algún número saldrá al menos tres veces.

El segundo se puede abordar de distintas maneras. Así lo hizo Luis Ortiz:

“El problema de los 12 números se ve muy bien si recurrimos a una tabla. Disponemos los 100 números de dos cifras posibles en filas de 11 números consecutivos cada una, empezando en el 00, de la siguiente forma:

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

· · ·

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

99

En esta tabla, la diferencia entre dos números cualesquiera de la misma columna es un múltiplo de 11, o lo que es lo mismo, tiene las dos cifras iguales. Si elegimos en la tabla 12 números cualesquiera, al menos dos de ellos tendrán que estar en la misma columna, es decir, su diferencia tendrá las dos cifras iguales”. Efectivamente: en última instancia, se trata de un palomar con 11 casillas y 12 palomas.

Decía al final de la entrega anterior que el principio del palomar permitía abordar eficazmente algunos problemas combinándolo con la teoría de grafos, y la solución aportada por Manuel Amorós para el tercero de los de la semana pasada es un buen ejemplo de ello:

“El problema de las amistades se ve bien en un grafo coloreado donde los puntos son personas y las aristas expresan las relaciones: una arista azul si se conocen y una roja en caso contrario. Se trata de demostrar la existencia de un grafo monocromo. De un vértice cualquiera P parten 5 aristas, azules o rojas. Necesariamente, habrá 3 del mismo color, pongamos azul. Los 3 vértices correspondientes estarán a su vez unidos entre sí, pudiéndose dar dos casos, o bien las 3 aristas de dicho triángulo son rojas (tendríamos el triángulo monocromo) o bien hay alguna azul. Dicha arista junto a las 2 que parten de sus extremos hacia P conforman un triángulo azul”.

Recubrimientos con figuras semejantes

Sin abandonar nuestro palomar conceptual (aunque tal vez la relación no sea evidente), Salva Fuster propuso el siguiente problema de recubrimiento:

“Dado un triángulo equilátero, ¿cuántos triángulos equiláteros más pequeños se requieren, como mínimo, para cubrirlo?”.

Dichos triángulos más pequeños no tienen por qué ser iguales y pueden solaparse (de lo contrario la respuesta sería, obviamente, 4).

El problema admite interesantes variantes y generalizaciones: Dado un cuadrado, ¿cuántos cuadrados más pequeños se requieren, como mínimo, para cubrirlo? ¿Es generalizable el criterio a otros polígonos regulares? ¿Y a polígonos irregulares? ¿Y al círculo?

Y para terminar, otro problema (sutilmente relacionado con el de SF) en el que confluyen el triángulo equilátero y el principio del palomar:

Dados 5 puntos cualesquiera en un triángulo equilátero de 1 metro de lado, ¿pueden distar unos de otros más de 50 cm?