Cigarrillos en contacto

A nuestro viajero claustrofóbico de la semana pasada le conviene subir al último vagón. A primera vista parece que da igual un vagón que otro; pero como el túnel está a la salida de la estación, el tren todavía estará acelerando al entrar en él, por lo que el último vagón lo cruzará más rápido que los otros. Además, como han señalado Salva Fuster y Francisco Montesinos, el viajero, en el momento de entrar en el túnel, puede correr hacia delante, con lo que su propia velocidad se sumará a la del tren para dar una mayor velocidad relativa de cruce.

En el caso de la balanza de brazos desiguales, se trata de una pregunta trampa (no hay que olvidar que son problemas planteados por un niño malévolo): la respuesta es sí… siempre que se trate de la media geométrica y no de la aritmética, como tendemos a pensar cuando se dice “la media” a secas.

En cuanto al problema de las fichas cuadradas, dio lugar a numerosos comentarios y distintas formas de abordarlo. La más sencilla, elegante e ingeniosa es la propuesta por Manuel Amorós. Llamando a y b al número de casillas por lado de uno y otro cuadrado, y n al número de fichas, tenemos que:

n + 7 = a²

n – 10 = b²

con lo cual, restando la segunda igualdad de la primera:

(a + b)(a – b) = 17

de donde se deduce que a + b = 17, a – b = 1

por lo que n = 74

Para quien le resulte demasiado escueto el desarrollo, recordemos aquello de “suma por diferencia, diferencia de cuadrados”, y que 17, al ser primo, solo se puede descomponer en dos factores de la forma 17 = 1 x 17.

Y una solución igual de escueta y elegante es la ofrecida por María Luisa González a la variante con fichas de dominó:

Un cuadrado con fichas de dominó se forma con X x 2X fichas, por tanto:

(X x 2X) – 1 = (X – 1)(2X – 2) + 13

La solución es que el primer cuadrado lo hice con 4x8 fichas (y me faltó 1) y el segundo con 3x6 y me sobraron 13. Tengo 31 fichas.

Acertijos cocinados

En la jerga de los aficionados a los acertijos lógico-matemáticos, cuando alguien descubre una solución mejor o distinta de la “oficial”, se dice que han “cocinado” el problema. Por ejemplo, Fuster y Montesinos le han dado otro hervor al del viajero claustrofóbico al señalar que, además de subir en el último vagón, puede correr hacia delante para minimizar el tiempo de permanencia en el túnel. Y Luis Miguel Barros comenta que su hija de quince años observó que, puesto que no se especifica en el enunciado, el cuadrado de fichas de dominó no tiene por qué ser relleno: puede ser un marco de fichas, con lo que aparecen nuevas e interesantes soluciones. E Ignacio Alonso señala que a lo mejor el viajero claustrofóbico prefiere pasar el mal trago lo antes posible, con lo que optaría por el primer vagón.

Uno de los más famosos problemas cocinados (del que ya hablamos hace unos años) es el de los cigarrillos en contacto. Durante un tiempo se pensó que 6 era el máximo número de cigarrillos que podían disponerse de forma que cada uno tocara a todos los demás, tal como se indica en la figura; pero luego apareció una solución con 7 (¿puedes hallarla?).

Y del simple cocinado se pasó a la alta cocina matemática, pues alguien se preguntó cuántos cilindros iguales podrían ponerse en contacto si no se pudieran usar sus extremos, es decir, si fueran de longitud infinita (¿cuántos crees que son?).

Y, una vez más, lo que parecía un simple entretenimiento matemático resultó estar relacionado con los materiales auxéticos, que son los que tienen un coeficiente de Poisson negativo, es decir, que, al contrario de lo que ocurre con una goma elástica o un chicle, se ensanchan al estirarlos en lugar de estrecharse. Pero ese es otro artículo…