¿Sabías que el mayor número primo capicúa conocido tiene casi dos millones de cifras?

Los palíndromos de la semana pasada han estimulado la imaginación de nuestros sagaces lectores, que han hecho interesantes aportaciones al tema. Así, Ser Ar ha encontrado dos destacables, uno por su longitud y otro que, aunque es más breve, suena como una frase muy normal, que bien podría oírse en una conversación real: “A mamá Roma le aviva el amor a papá y a papá Roma le aviva el amor a mamá” y “La ruta nos aportó otro paso natural”. Y Javier Tamames ha complementado el famoso palíndromo de la zorra y el abad con una breve y contundente moraleja: “La zorra le asoló golosa el arrozal”.

Y volviendo al mayor número cuyo nombre contiene las cinco vocales una sola vez, Rafael Granero propone “undecillardo” (mil undecillones: un 1 seguido de 69 ceros). Para superarlo habría que recurrir a números extraoficiales, como el gúgol (un 1 seguido de 100 ceros) y su múltiplo el gargúgol (que es un gúgol al cuadrado, o sea, un 1 seguido de 200 ceros). En esta línea, Salva Fuster propone “mil gargúgoles”. ¿Quién da más?

Palíndromos numéricos

El equivalente numérico de los palíndromos verbales son los capicúas (del catalán cap i cua, cabeza y cola), es decir, los números que no varían al leerlos de derecha a izquierda: como la mítica serpiente anfisbena, tienen la cola igual que la cabeza.

Obviamente, solo hay nueve capicúas de dos cifras: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99. ¿Cuántos hay de tres cifras? ¿Y de cuatro? ¿Hay alguna fórmula que nos dé el número de capicúas de n cifras en función de n?

Así como solo algunas sucesiones de letras tienen sentido, cualquier sucesión de cifras es un número, por lo que construir capicúas de cualquier cantidad de cifras es trivial. A no ser que nos impongamos algunas condiciones adicionales. Por ejemplo, que el número sea primo.

Es evidente que solo hay un primo de dos cifras: el 11, pues todos los demás son múltiplos suyos. ¿Cuántos primos de tres cifras hay? ¿Y de cuatro? ¿Y de cinco? ¿Se observa alguna pauta a medida que aumenta el número de cifras? ¿Es significativo que dicho número de cifras sea par o impar? ¿Cuál es el mayor capicúa primo que eres capaz de encontrar sin ayuda de tu IA de cabecera? No aspires a batir ningún récord, pues el mayor primo capicúa conocido tiene 1.888.529 cifras. No te pido que lo escribas (aunque no es una tarea tan laboriosa como parece), pero, ¿en qué dígito termina?

Entre los primos capicúa muy grandes, es notable el conocido como “primo de Belfegor” (no, el primo de Belfegor no es Asmodeo), con el número de la bestia, 666, entre dos grupos de trece ceros:

1000000000000066600000000000001

Aunque es insignificante en comparación con el mayor primo capicúa conocido, comprobar la primalidad del primo de Belfegor sin disponer de un ordenador sería una buena condena para alguien que, como Rimbaud, tuviera que pasar una temporada en el infierno.

Si sumamos un número a su reverso, el resultante a su reverso y así sucesivamente, acabamos obteniendo un capicúa. Si todas las cifras son menores de 5, es evidente que lo obtendremos en el primer paso: 32 + 23 = 55, 214 + 412 = 626, 4101 + 1014 = 5115… Y aunque haya cifras iguales o mayores que 5 obtendremos un capicúa en varios pasos; por ejemplo: 28 + 82 = 110, 110 + 11 = 121; 759 + 957 = 1716, 1716 + 6171 = 7887. El número así obtenido es el capicúa del número inicial; así, 55 es el capicúa de 32, 121 es el capicúa de 28, 7887 es el capicúa de 759, etc. ¿Puedes demostrar que todo número tiene su capicúa? ¿De qué depende el número de pasos necesarios para hallarlo? ¿Hay un límite para ese número de pasos?

Para lo que sí hay un límite es para esta sección, de modo que aquí me despido.