El beso preciso

Las coordenadas de cualquier punto (P) de una circunferencia cuyo centro coincide con el punto de intersección de los ejes (O) forman, junto con su radio correspondiente, un triángulo rectángulo, en el que la hipotenusa es el radio (R) y los catetos son las coordenadas (x, y), por lo que, por el teorema de Pitágoras, siempre se cumplirá la relación x² + y² = R2. Si el radio mide 5 unidades, como en el caso planteado la semana pasada, la ecuación pedida será x² + y² = 25.

La geometría analítica y sus coordenadas cartesianas fueron sin duda la más importante aportación de Descartes a las matemáticas, pero no la única. A menudo retomó y dio nuevo impulso a cuestiones tratadas desde antiguo, y en este sentido cabe destacar el teorema de los defectos angulares (del que nos ocuparemos en otra ocasión) y el de los círculos tangentes.

El teorema de los cuatro círculos tangentes

Dados tres círculos tangentes entre sí dos a dos, siempre podemos trazar un cuarto círculo tangente a los tres, que puede estar inscrito o circunscrito a ellos.

La cuestión fue abordada -hay que citar una vez más al Gran Geómetra- por Apolonio de Perga, y Descartes la retomó a mediados del siglo XVII, estableciendo una relación entre las respectivas curvaturas de los cuatro círculos (recordemos que la curvatura de un círculo es el inverso de su radio, con signo positivo o negativo según que consideremos su parte convexa o cóncava).

En 1936, el químico inglés Frederick Soddy (premio Nobel de química en 1921) redescubrió el teorema, y publicó su versión en la revista Nature en forma de un poema humorístico titulado The Kiss Precise, en el que, además, lo amplía al caso de cinco esferas tangentes entre sí (si sabes inglés te recomiendo que busques el original, fácil de encontrar en la red; de lo contrario, tendrás que conformarte con mi apresurada versión en eneasíbos):

El beso preciso

Tal vez besarse por parejas

no implique trigonometría.

No es así si cuatro se besan

cada uno a los otros tres,

pues para ello habrán de estar

o tres en uno o uno en tres.

Si uno está en tres, recibirán

todos tres besos desde fuera.

Si tres en uno, este será

por tres besado internamente.

Logran besarse cuatro círculos.

Cuanto menores más curvados.

La curvatura es el inverso

del radio, la distancia al centro.

Y aunque esto a Euclides asombrara,

ningún axioma es necesario.

Rectas con cero curvatura,

con signo menos líneas cóncavas,

es la adición de sus cuadrados

medio cuadrado de la suma.

Al espiar líos esféricos,

del vigilante osculatorio

es la tarea laboriosa,

pues es la esfera más promiscua,

y ahora son más de un par de pares,

son cinco esferas besuconas.

Pero los signos son como antes,

y al oscular cada una a cuatro,

es el cuadrado de la suma

tres por la suma de cuadrados.

Tras una atenta lectura del poema, ¿eres capaz de traducirlo al lenguaje matemático -es decir, de formular el teorema de Descartes- tal como tuvieron que hacer en su día los lectores de Nature?

Previo a ello, puedes intentar dibujar, con solo ayuda de un compás (físico o mental) tres círculos de radios 1, 2 y 3 tangentes dos a dos. ¿Cuánto mide el radio del círculo exterior tangente a estos tres? ¿Y el del círculo tangente interior?

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, X e Instagram, o apuntarte aquí para recibir nuestra newsletter semanal.