Primalidad

La simplificación más evidente de la criba de Eratóstenes, de la que nos ocupamos la semana pasada, es partir de la lista de los impares (con el 2 al principio), pues todos los pares son múltiplos de 2. Y otra consiste en tachar los múltiplos del enésimo número primo, pn, empezando por pn², puesto que en los pasos previos ya se han tachado los múltiplos de pn correspondientes a todos los anteriores números primos, es decir, 2pn, 3pn, 5pn, 7pn...

Como vimos, se supone (aunque no está demostrado) que hay infinitas parejas de primos gemelos, es decir, que son impares consecutivos, como 3 y 5 o 5 y 7 (por cierto, 3, 5 y 7 son primos trillizos, ¿hay alguna otra terna así?). Hay ocho parejas de primos gemelos menores que 100:

3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31, 41 y 43, 59 y 61, 71 y 73.

¿Cuántas hay entre 100 y 200?

Obsérvese que, a excepción de la primera pareja de primos gemelos, 3 y 5, la suma de los dos miembros de todas las demás parejas es múltiplo de 12: 5 + 7 = 12, 11 + 13 = 24, 17 + 19 = 36, 29 + 31 = 60, 41 + 43 = 84… ¿Por qué?

Obviamente, y puesto que todos los primos (menos el 2) son impares, la diferencia entre dos primos no puede ser 3, así que los primos más próximos (sin contar, por supuesto el caso excepcional y único del 2 y el 3), después de los gemelos, son aquellos cuya diferencia es 4, llamados primos parientes, como 3 y 7 o 7 y 11, que son las primeras parejas de la lista. Entre los cien primeros números, hay ocho parejas de primos parientes:

3 y 7, 7 y 11, 13 y 17, 19 y 23, 37 y 41, 43 y 47, 67 y 71, 79 y 83.

Obsérvese que hay el mismo número de parejas de primos gemelos que de primos parientes entre los números menores que 100, ¿hay alguna razón para ello o es mera coincidencia (suponiendo que tal concepto tenga algún sentido al hablar de matemáticas)?

Del mismo modo que 3, 5 y 7 son trillizos, 3, 7 y 11 forman una terna de parientes consecutivos. ¿Hay alguna más?

Las parejas de números primos cuya diferencia es 6, como 5 y 11, se denominan sexis (nada que ver con un hipotético atractivo erótico: sex es seis en latín). Las parejas de primos sexis menores que 100 son:

5 y 11, 7 y 13, 11 y 17, 13 y 19, 17 y 23, 23 y 29, 31 y 37, 37 y 43, 41 y 47, 47 y 53, 53 y 59, 61 y 67, 67 y 73, 73 y 79, 83 y 89.

Basta echar un vistazo a la lista anterior para ver que hay tríos de primos sexis (evitemos los chistes fáciles), como 7, 13 y 19 o 17, 23 y 29, e incluso cuartetos, como 5, 11, 17 y 23 u 11, 17, 23 y 29. ¿Puede haber también quintetos de primos sexis?

Prueba de primalidad

Todo lo anterior, más lo visto en otras entregas, puede dar la falsa impresión de que sabemos mucho sobre los números primos; pero lo cierto es que todavía no resulta fácil determinar si un número es primo o no. Y aunque se ha avanzado mucho desde la criba de Eratóstenes gracias a los trabajos de eminentes matemáticos como Fibonacci, Cataldi, Mersenne, Fermat, Euler, Gauss, Lucas…, todavía no sabemos resolver el problema de la factorización (descomposición de un número entero en sus factores primos) en lo que en la jerga computacional se denomina tiempo polinómico. Pero ese es otro artículo.

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