12 vértices y ¿seis distancias distintas?

Irene Ferrando, profesora de enseñanza secundaria, y Alejandro Miralles, investigador de la Universitat Politècnica de València, ambos profesores del proyecto Estalmat Comunitat Valenciana, presenta el vigesimotercero de los desafíos matemáticos con los que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.

Envía tu solución antes de las 00.00 horas del lunes 29 de agosto (medianoche del domingo, hora peninsular española) a la dirección desafiodeagosto4@gmail.com y gana una biblioteca matemática como la que cada semana distribuye EL PAÍS.

A continuación, para aclarar las dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos el enunciado del problema por escrito.

En un cuadrado, es muy fácil observar que no podemos emparejar sus cuatro vértices, sin repetir ninguno, de forma que obtengamos 2 segmentos de longitud distinta. O bien podemos conseguir las dos diagonales, o bien dos de los lados, pero nunca podremos obtener un lado y una diagonal.

En cambio, en un octógono regular, sí que podemos emparejar sus ocho vértices, sin repetir ninguno, para obtener 4 segmentos de longitud distinta. Numerando los vértices del octógono del 1 al 8 en el sentido de las agujas del reloj, una forma de emparejarlos sería: (1,2), (3,6), (5,7) y (4,8).

El desafío consiste en decir si es posible emparejar los vértices de un polígono regular de 12 lados (un dodecágono regular), sin repetir ninguno, para obtener en este caso 6 segmentos de longitud distinta. En caso de que sí se pueda, hay que encontrar una combinación de 6 pares de vértices como la que hemos obtenido para el octógono. En caso de que no se pueda, hay que dar un razonamiento lógico que nos asegure por qué no.

NOTA IMPORTANTE: Recomendamos que no intentéis resolverlo probando todos los casos posibles.

VER LOS DESAFÍOS ANTERIORES Y LOS OTROS CUATRO PROPUESTOS PARA AGOSTO