Una hormiga con un negro futuro

Pésimo pronóstico para la hormiga del segundo de los desafíos planteados EL PAÍS para celebrar el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver planteamiento en el vídeo de la izquierda). La probabilidad de que el insecto sobreviva en el problema planteado por el profesor Fernando Blasco, de la Universidad Politécnica de Madrid, es 0. Y tiene 4/7 de probabilidades de morir en el vértice 8 y 3/7 de morir en el vértice 7. Ya hay ganador del sorteo entre los acertantes de una biblioteca matemática como la ofrece cada domingo EL PAÍS. Esta semana ha sido Antonio Camacho, de Sevilla. Felicidades.

Nota: A petición de los lectores damos los datos de respuestas recibidas en el plazo estipulado: 1.635. De ellas acierta el 35%, aunque no todas explican el razonamiento seguido para llegar a la solución. Por una cuestión de protección de datos no podemos publicar el nombre de todos los acertantes. Ayer tardamos unas horas en dar el nombre del ganador precisamente porque preferíamos hablar con él primero.

El problema puede resolverse de varias maneras. Aunque se podía resolver utilizando técnicas matriciales (y así lo han hecho algunos lectores) en el video exponemos un método con el que no hacen falta conocimientos matemáticos avanzados, sino simplemente ser conscientes de la simetría del problema y resolver sistemas de ecuaciones.

Llamaremos P(i,j) a la probabilidad de que, partiendo del vértice i se vaya a llegar al vértice j (sin tener en cuenta el camino seguido). Con este lenguaje, lo que nos piden es P(1,7) y P(1,8). La simetría del problema da lugar a las siguientes relaciones:

P(1,8)=P(2,7) (ya que, por simetría, la probabilidad de llegar a 8 desde el vértice 1 tiene que ser la misma que la de llegar a 7 desde el vértice 2),

P(2,8)=P(1,7), P(3,8)=P(4,7), P(4,8)=P(5,8)=P(3,7)=P(6,7) y, finalmente P(6,8)=P(5,7).

Además, dado que la única forma como puede morir la hormiga es por envenenamiento, la probabilidad de que en un pase aleatorio infinito nunca pase por los vértices 7 u 8 es cero.

¿Por qué? Que la hormiga sobreviva implicaría que la secuencia de movimientos que nunca contuviera los números 7 ni 8. La probabilidad de tener una secuencia con esas características cuando la hormiga recorre una arista partiendo de vértice cualquiera es menor de 6/8, cuando recorre dos de 6/8*6/8=(6/8)^2, ... tras recorrer N aristas, la probabilidad de que nunca haya pasado por los vértices 7 y 8 sería (6/8)^N. Según aumenta N ese número se va haciendo más pequeño; de hecho el único número no negativo que es menor que (6/8)^N para cualquier N es el 0.

Esta era una de las preguntas que se formulaban en el problema, con la intención de que sirviera como pista para resolver el resto. Esta relación se escribe como P(1,7)+P(1,8)=1 o, equivalentemente, como P(2,8)+P(1,8)=1.

Las condiciones del problema nos indican que la probabilidad de que partiendo de un vértice i se llegue al vértice 8 es el promedio de las probabilidades de llegar a 8os desde los vértices contiguos a i. Así, podemos obtener diferentes ecuaciones. Nos van a quedar muchas relaciones que no van a aportar información adicional y elegimos tres de ellas (no hay problema en elegir otro conjunto equivalente, la solución será la misma):

P(1,8)=P(2,8)/3+P(4,8)/3+P(5,8)/3

P(4,8)= 1/3+P(1,8)/3+P(3,8)/3

P(3,8)= P(2,8)/3+P(4,8)/3

Teniendo en cuenta las relaciones de simetría y que P(2,8)+P(1,8)=1, podemos reducir el problema a 4 ecuaciones con 4 incógnitas (en el video se muestra en detalle), resultando

P(1,8)=P(2,8)/3+2*P(4,8)/3

P(4,8)= 1/3+P(1,8)/3+P(3,8)/3

P(3,8)= P(2,8)/3+P(4,8)/3

P(2,8)+P(1,8)=1

Resolviendo ese sistema (ver video) resulta que P(1,8)=4/7 y P(1,7)=P(2,8)=3/7.

Enhorabuena a los acertantes y gracias por participar. Esperamos que hayáis pasado un rato entretenido jugando con las matemáticas.

Una hormiga con un negro futuro

Una hormiga amenazada