Desafío matemático de la Lotería de Navidad: ¿cuánto suman todos los dígitos?

Un año más EL PAÍS propone a sus lectores un desafío matemático con ocasión del Sorteo de la Lotería de Navidad del 22 de diciembre, presentado, como en ediciones anteriores, por Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. Puedes enviar tu respuesta hasta las 00.00 del jueves 21 de diciembre (la medianoche del miércoles al jueves, hora peninsular española) al correo problemamatematicas@gmail.com. Ese mismo día 21 publicaremos la solución.

En esta ocasión el desafío tiene tres preguntas, y las tres consisten en encontrar la suma de los dígitos de números que participan en el Sorteo de la Lotería de Navidad. En 2023 estos números son todos los que se pueden escribir con cinco cifras, es decir, los comprendidos entre el 00000 y el 99999. La primera pregunta es: ¿cuánto suman todos los dígitos de todos estos números?

Obsérvese que pedimos la suma de los dígitos, no la suma de los números (lo segundo dicen que lo resolvió Gauss cuando era un niño). Es decir, si jugásemos solo con los números 11, 12 y 13, la respuesta a la pregunta sería 9, no 36.

Supongamos ahora que estamos en 1968, cuando en el Sorteo de la Lotería de Navidad entraron en el bombo grande solo sesenta mil números, los comprendidos entre el 00000 y el 59999. La segunda pregunta es: ¿cuánto sumaban todos los dígitos de todos los números participantes en el sorteo de 1968?

Para la tercera pregunta volvemos a 2023, pero nos fijamos únicamente en los números que tienen las cinco cifras impares. ¿Cuántos números hay (entre el 00000 y el 99999) que cumplen esa condición y cuánto suman todos los dígitos de todos ellos?

Es muy fácil encontrar la respuesta a nuestras tres preguntas usando un ordenador. Pero no es muy divertido y no podríamos usar un ordenador si los números de lotería tuviesen 10^100 cifras, como en el desafío navideño de 2019. Así que lo que pedimos para considerar una respuesta como válida es que dé contestaciones a las tres preguntas y que explique cómo se ha llegado a ellas con argumentos coherentes y convincentes que utilicen únicamente lápiz y papel. No es necesario que las soluciones estén escritas con jerga matemática, lo que nos interesa es que la explicación sea clara y, obviamente, correcta. Esperamos vuestras soluciones y animamos especialmente a los jóvenes lectores a intentarlo.