El nombre secreto de Girona

En Los nueve mil millones de nombres de Dios, el famoso relato de Arthur Clarke mencionado la semana pasada, se plantea un típico problema combinatorio en el que no son válidas todas las combinaciones (o variaciones con repetición, como en este caso) posibles, sino solo las que cumplen ciertos requisitos. En principio, con 30 letras tomadas de 9 en 9 podemos formar 30⁹ “palabras” distintas, es decir, casi 20 billones, por lo que las restricciones impuestas por los monjes tibetanos (como la de que una misma letra no puede repetirse más de tres veces seguidas) tendrían que ser muy drásticas para que los nombres válidos “solo” fueran 9.000 millones. Parece más lógico pensar que cuando Clarke, que era británico, hablaba de billions se refería a billones de los europeos y no de los estadounidenses; pero como el relato se publicó en una revista estadounidense, se interpretó (y luego así se tradujo al castellano) que se trataba de miles de millones. Si consideramos que los nombres de Dios son 9 billones, las restricciones solo reducen a la mitad las 30⁹ posibilidades iniciales (y eso que solo estamos contando los nombres de nueve letras), lo cual es más verosímil.

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Si la única restricción fuera que no podía repetirse una misma letra más de tres veces seguidas, solo habrá que restar de las 30⁹ variaciones con repeticiones posibles las de la forma aaaaxxxxx, xaaaaxxxx, xxaaaaxxx, xxxaaaaxx, xxxxaaaax y xxxxxaaaa, lo cual es más complicado de lo que parece a primera vista, pero fácil de plantear. Y a estos posibles nombres de nueve letras habría que añadir los de ocho, siete, seis… 

Con las letras de Girona

Hace muchos años vi, en un libro cuyo título no recuerdo, un ejemplo mucho más sencillo de este tipo de problemas combinatorios literales con limitaciones ortográficas:

Con las letras de GIRONA, ¿cuántas palabras se pueden formar que respeten la alternancia vocal-consonante?

Y un poco más complicado: ¿Cuántas palabras pronunciables podemos formar con esas seis letras?

Obviamente, no se consideran pronunciables las palabras que empiezan o terminan por las tres consonantes, que, además, solo pueden ir juntas, entre vocales, en el orden NGR, como en ANGRIO. Y la única pareja de consonantes admisible al comienzo de una palabra es GR, como en GRINOA. Forzando un poco la mano de la pronunciabilidad, se pueden admitir las terminaciones NG, RG y RN, pero no GR, GN y NR. Pero, por supuesto, cada lector(a) puede abordar el problema introduciendo las variantes que considere oportunas.

Girona fue uno de los más importantes centros cabalísticos de la Edad Media, por lo que tal vez nuestros pacientes lectores, a imitación de los monjes tibetanos del relato de Clarke, acaben descubriendo el nombre secreto de la ciudad.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellosMaldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.