El eterno triángulo

El problema de los apretones de manos planteado la semana pasada (y directamente relacionado con uno de los “problemas matrimoniales” de hace un par de meses) ha suscitado numerosos e interesantes comentarios, aunque en realidad es bastante simple, si se enfoca de la forma adecuada. Todos los apretones de manos son dobles, pues consisten en juntar dos manos que se aprietan mutuamente, por lo que el número total de “acciones manuales” (AM) ha de ser par. Evidentemente, el número de AM de las personas que han dado la mano un número par de veces es par, luego el número de AM de las personas que han dado la mano un número impar de veces también ha de ser par, para que la suma total lo sea; pero si el número de estas últimas fuera impar, también lo sería la suma de sus AM, luego el número de personas que han dado la mano un número impar de veces tiene que ser par. Parece un trabalenguas, pero en realidad es bastante sencillo.

Para que un número sea divisible por 9 al restarle la suma de sus cifras no ha de cumplir condición alguna. Dado un número de tres cifras cualquiera, abc, si le restamos la suma de sus cifras (a + b + c) tenemos: 100a + 10b + c –a – b – c = 99a + 9b, que es divisible por 9 cualesquiera que sean a y b. Obviamente, el razonamiento sigue siendo válido para números de más de tres cifras y, por lo tanto, cualquier número entero es divisible por 9 si le restamos la suma de sus cifras. Por eso la condición necesaria y suficiente para que un número sea divisible por 9, es que lo sea la suma de sus cifras.

Como ha señalado Jordi Ferrer, el problema de la parcela no está bien planteado, pues la intensidad del sonido en un punto dado no depende de su distancia al foco sino del cuadrado de dicha distancia. Aclarado lo cual, se da la curiosa circunstancia de que la suma de las distancias a los tres lados es la misma para cualquier punto de la parcela.

El área (S) del triángulo equilátero de la figura es la suma de los tres triángulos obtenidos al unir un punto cualquiera con los tres vértices; si llamamos l al lado del triángulo, S = la/2 + lb/2 + lc/2 = l(a + b + c)/2, por lo que a + b + c es constante e igual a la altura del triángulo, h, ya que S = lh/2. Es el conocido (al menos para los estudiantes italianos) teorema de Viviani.

Más triángulos

Manuel Amorós propone otro interesante problema afín al anterior: hallar, en un triángulo cualquiera que no tenga un ángulo mayor o igual a 120º, un punto tal que la suma de sus distancias a los vértices sea mínima.

En la misma línea, demostrar gráficamente que las tres alturas de un triángulo cualquiera se cortan en un punto.

Y, para terminar, pasemos de los triángulos geométricos a los amorosos:

Antonio, Bernardo y Clara juegan a la pelota en la playa. Bernardo está enamorado de Clara, y cada vez que tiene la pelota se la tira a ella (que es una forma de tirar los tejos). Clara está enamorada de Antonio, y cada vez que tiene la pelota se la tira a él. Antonio no se da por aludido, y tira la pelota indistintamente a Bernardo o a Clara. ¿Cuál es la probabilidad de que cada uno de los tres tenga la pelota en un momento dado?

Carlo Frabetti

Escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’