Grisha por los puentes de Königsberg

La topología, la especialidad de Perelman, tiene el más encantador de los orígenes. La ciudad de Königsberg, la actual Kaliningrado rusa, tenía siete puentes para salvar el complicado trazado del río Pregel. Cinco puentes daban a una isla interior y los otros dos cruzaban los brazos del río por otros sitios. La gente se preguntaba si sería posible cruzar la ciudad pasando solo una vez por cada puente. Y fue el gran matemático suizo Leonard Euler quien halló la respuesta.

Si llegas a la isla por un puente, se dijo Euler, tienes que salir por otro, luego la isla tiene que tener dos puentes, o cualquier otro número par. Como tenía cinco, la respuesta era no. Lo importante fue el atajo que usó Euler. Se desentendió del mapa real de Kaliningrado casi por completo y solo se quedó con un gráfico minimalista que podría servir para otras muchas ciudades, reales o imaginarias. Prefiguró así la topología, una geometría de las cualidades.

Perelman desarrolla unas herramientas que abren un nuevo continente a la investigación

La topología se ocupa de las propiedades de un objeto que permanecen por mucho que se le deforme (sin romperlo ni abrirle agujeros). Como la A se puede deformar hasta una R, ambas letras son equivalentes para la topología. No así la B (con dos agujeros) ni la M (sin ninguno).

Un cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. La operación 6+8-12 nos da la característica de Euler del cubo, que es 2. Un octaedro tiene 8 caras, 6 vértices y 12 aristas, lo que nos da una característica de 8+6-12 = 2 otra vez. Sigamos subiendo el número de caras. El dodecaedro da 12+20-30 = 2. El icosaedro da 20+12-30 = 2. Por más que aumentemos el número de caras, la característica sigue siendo 2, y esto vale también para el poliedro de infinitas caras, que es la esfera. Todos estos objetos son intercambiables para la topología: se pueden deformar unos en otros.

Como pasaba con las letras, sin embargo, los objetos con un agujero tienen una característica distinta (0). Da igual que sea una casa de vecinos con su patio, un donut (toro, en la jerga) o una taza de café: todos tienen característica 0 y son equivalentes para la topología, pero en un grupo separado de la esfera y sus acólitos. Unas gafas sin cristales representan otra clase más, con dos agujeros, como un doble toro (dos donut siameses), con característica -2.

Fue otro gran matemático, el francés Henri Poincaré, quien desarrolló sistemáticamente los fundamentos de la topología a principios del siglo XX. Su éxito fue espectacular, pero se dejó pendiente un problema grave. No logró extender del todo los anteriores principios a un mundo de cuatro dimensiones.

En nuestro mundo de tres dimensiones, los objetos sin agujeros, por muy distintos que sean, se pueden reconocer por una propiedad llamada conectividad simple. Significa que si les atas una goma elástica alrededor, siempre puedes recuperar la goma sin desatarla, solo corriéndola. Esto no pasa con un donut. Y Poincaré no pudo demostrar que lo mismo vale en un mundo de cuatro dimensiones (donde la esfera no se puede imaginar, pero sí analizar matemáticamente). Supuso que sí, y esa suposición pasó a llamarse conjetura de Poincaré. Hicieron falta cien años para que Grisha Perelman lograra demostrarla, convirtiéndola en un teorema.

Perelman no solo ha resuelto un problema que se les había resistido a los mejores matemáticos del mundo durante 100 años, sino que para hacerlo ha desarrollado unas herramientas que abren un nuevo continente a la investigación matemática. No olvidemos que, según la relatividad de Einstein, vivimos en un espaciotiempo de cuatro dimensiones. La más abstracta de las disciplinas matemáticas es ahora capaz de descubrir la forma de nuestro universo. Y ha salido gratis.