La cuenta de la vieja

Durante las últimas semanas, se ha venido desarrollando en la sección de comentarios un pequeño debate (amistoso, por el momento) entre los partidarios de lo que podríamos llamar “cuenta de la vieja avanzada (CVA) y los que prefieren optar por métodos matemáticos más ortodoxos.

La CVA (un concepto que seguramente habría gustado a Fermi) es una cuenta de la vieja que combina la fuerza bruta del conteo y el tanteo con un enfoque ingenioso o una chispa de pensamiento lateral. Se podría decir que la CVA es a la cuenta de la vieja a secas como el ábaco chino a contar con los dedos.

La semana pasada se pedía demostrar que los cubos de MacMahon son 30, y también en este caso ha habido divergencia metodológica entre ortodoxos y partidarios de la CVA. Entre los primeros destaca, una vez más, nuestro comentarista habitual Francisco Montesinos:

“Numero las caras del cubo de forma que cualesquiera 2 caras opuestas sumen 7. Cómo los 6 colores deben aparecer en una u otra cara hay 6! formas distintas de colorear el cubo. Dicho de otra forma, si C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} es el conjunto de caras y C' = {a, b, c, d, e, f} el de colores, el número de aplicaciones biyectivas de C en C' es 6!, y la pregunta es: ¿cuántas hay salvo rotaciones del cubo? Creo que se puede seguir aplicando el lema de Burnside también en este caso siempre y cuando tengamos en cuenta dos grandes diferencias: 1) si en el caso de que los colores pudieran repetirse hablábamos de 6^6 posibles formas de colorear las caras, ahora tenemos que hablar de 6! maneras, y 2) siendo todas las caras de colores distintos, el único giro con 6! configuraciones invariantes es el de ángulo 0. Aplicando el lema con estos cambios, resulta que el número de trayectorias es: N = (6! + 0 + 0 +...+ 0)/24 = 30. El lema, si no estoy equivocado, da para tanto o más que la cuenta de la vieja!”.

Por supuesto, no está equivocado: el lema da para mucho más que la cuenta de la vieja, por astuta que esta sea. Pero hay casos en los que la CVA suministra un atajo que facilita los cálculos. Así, Juan Zubieta ofrece una solución difícilmente superable en cuanto a concisión y claridad: “Los 30 cubos salen así: tomando como referencia cualquiera de los colores, hay otros 5 para la cara opuesta; y tomando como referencia uno de los 4 restantes, hay 3! ordenaciones posibles del resto. Por tanto, 5 x 6″.

Una estrategia intermedia

A partir de la propia imagen del desarrollo de los cubos (ver ilustración de la semana pasada), Salva Fuster propone una estrategia intermedia: “Una imagen muy ordenada, la de los cubos de MacMahon. Respecto a la manera de contar los 30 casos, me parece que me he quedado en la CVSA (Semi), coincidente en cierta medida con la manera de ubicar los desarrollos de los cubos en la imagen adjunta: Coloreamos una cara cualquiera del primer color. Para colorear con el segundo color podemos optar por una cara contigua o por una cara opuesta.

Si hemos optado por una cara contigua, el resto de los colores se podría elegir de 4! =24 maneras distintas, y si hemos optado por la opuesta, el resto se podría elegir de 3! = 6 maneras distintas: 24 + 6 = 30.

También había pensado en la que comenta Francisco, aunque sin el lema de Burnside: Si fijamos una orientación del cubo respecto a tres ejes, podemos pintar sus caras de 6! maneras distintas. Ahora bien, podemos orientar el cubo de 24 maneras, por lo que tendremos cada configuración repetida 24 veces. Por lo tanto, 6!/24 = 30 coloraciones distintas”.

Veamos, para terminar, un sencillo ejemplo numérico de prevalencia de la CVA sobre los métodos ortodoxos: Hallar tres números consecutivos cuyo producto es 3360. La forma algebraica de abordar el problema es obvia: x(x + 1)(x + 2) = 3360; pero la resolución de la ecuación de tercer grado es, cuando menos, engorrosa. ¿Se te ocurre alguna forma de resolución no algebraica?