¡Feliz (1+2 +3+4+5+6+7+8+9)²!

Durante estas fechas, en las felicitaciones del año que comienza, entre buenos deseos, árboles de Navidad, paisajes nevados y otros elementos de temporada, a veces, se cuelan propiedades matemáticas de la nueva cifra: si es primo o, en caso contrario, si se puede descomponer en sus factores de forma curiosa, si se puede expresar como una suma llamativa… El año que comienza, 2025, admite una fórmula de este tipo: es el cuadrado de los nueve primeros números naturales. Es decir: 2025 = (1+2 +3+4+5+6+7+8+9)².

Se trata de un número poligonal: un número natural que se puede representar gráficamente como un polígono regular (véase la imagen de abajo). En el caso de los números cuadrados, son el 1, el 4, el 9… Este tipo de cifras, que se estudian desde la antigüedad, también pueden expresarse con fórmulas. Por ejemplo, para cualquier número natural n, la fórmula del n-ésimo número cuadrado es n². Como 2025 = 45², 2025 es el cuadragésimo quinto número cuadrado.

La fórmula para los números triangulares también es sencilla: el n-ésimo número triangular se obtiene al sumar los n primeros números naturales. Es decir, el primer número triangular es el 1, el segundo el 3 (1+2), el tercero, el 5 (1+2+3) y así sucesivamente. El 45 es el noveno número triangular. Por tanto, 2025 no es solo un número cuadrado, sino que se trata del cuadrado del noveno número triangular.

Además, como el cuadrado de la suma de los n primeros números es igual a la suma de los cubos de los n primeros números —otra curiosa relación matemática, muy fácil de demostrar—, 2025 también se puede escribir como 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³. Dejamos como pasatiempo vacacional a los lectores descubrir las propiedades numéricas de este año en el sistema musulmán (1446), del budista (2568), del chino (4722) o de otras culturas.

Manuel de León es profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.

Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición, traducción y coordinación: Ágata Timón García-Longoria.