Solución al desafío de la Lotería de Navidad: el número de décimos sí importa

Ya hay solución para el desafío matemático con ocasión del Sorteo de la Lotería de Navidad que, un año más, ha propuesto Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, que ahora nos ofrece su solución.

Recordemos brevemente el desafío. En un cajón tenemos un número indeterminado, del que sólo sabemos que está entre 30 y 40, de décimos de lotería. Lo que sí sabemos es que, si sacamos al azar dos décimos del cajón, la probabilidad de que ambos sean de números pares es 1/3. El desafío era decidir cuál es la probabilidad de que, si sacamos al azar dos décimos de mi cajón, ambos sean de números impares.

Llamemos T a la cantidad total de décimos que hay en el cajón. Las maneras que tenemos entonces de sacar dos de estos décimos son entonces T x (T-1), donde la T corresponde a las opciones para el primer décimo que cogemos y T-1 a las posibilidades para el segundo, cuando ya hay un decimo menos en el cajón. [Si sacásemos los dos décimos a la vez habría que sustituir T x (T-1) por T x (T-1)/2, pero esto es irrelevante a la hora de calcular las probabilidades].

Por el mismo motivo, si llamamos N a la cantidad de décimos con números pares que hay en el cajón, las maneras que tenemos de sacar dos de estos décimos con números pares son N x (N-1), (o N x (N-1)/2 en la versión alternativa).

En cualquier caso, la probabilidad de que al sacar al azar dos décimos del cajón ambos sean de números pares viene dada por el cociente

N x (N-1)

------------ ,

T x (T-1)

y por tanto sabemos que

N x (N-1)

------------ =1/3,

T x (T-1)

o, lo que es equivalente,

N x (N-1)=T x (T-1)/3.

Para poder resolver el desafío vamos a intentar averiguar cuánto valen los números enteros N y T sabiendo que T está entre 30 y 40 y que T x (T-1)/3 tiene que ser producto de dos enteros consecutivos. Como solo hay 11 posibles valores de T, podemos hacerlo por tanteo. Pero antes, para ahorrar algo de trabajo, observamos que T o T-1 han de ser múltiplos de 3 (ya que T x (T-1)/3 debe ser entero). Esto nos evita tener que probar T=32, T=35 y T=38. Además, como ha hecho notar Raúl C., entre otros lectores, podemos descartar los casos en los que T o T-1 es primo, porque entonces habrá que dividir el otro factor entre 3 y es imposible que T x (T-1)/3 sea producto de dos enteros consecutivos. Eliminamos así también T=30, T=31 y T=37 y nos quedan sólo 5 posibles valores para T, que comprobamos a mano (aunque luego veremos que se puede evitar este tanteo):

• Si T=33, T x (T-1)/3=11 x 32=22 x 16 no es producto de enteros consecutivos (las dos factorizaciones que recogemos indican que no hay margen para ello).
• Si T=34, T x (T-1)/3=34 x 11=17 x 22 no es producto de enteros consecutivos (de nuevo nos lo dicen las dos factorizaciones que recogemos).
• Si T=36, T x (T-1)/3=12 x 35= 3 x 4 x 5 x 7=21 x 20 ¡sí que es producto de enteros consecutivos! Por tanto es posible que en el cajón haya T=36 décimos de los que N=21 tengan números pares.
• Si T=39, T x (T-1)/3=13 x 38=13 x 2 x 19 no es producto de enteros consecutivos (no hay dónde poner el 2 para que funcione).
• Si T=40, T x (T-1)/3=40 x 13=2 x 2 x 2 x 5 x 13 no es producto de enteros consecutivos (tras una breve reflexión vemos que no hay ninguna forma de agrupar los factores primos que nos dé enteros consecutivos).

Podemos concluir por tanto que en el cajón hay 36 décimos de los que 21 tienen números pares, con lo que 15 tendrán números impares.

Para resolver el desafío, por el mismo razonamiento que al principio sabemos que hay 15x14 maneras de extraer del cajón dos décimos con números impares (o 15x14/2 si extraemos los dos décimos a la vez), y por tanto la probabilidad por la que nos preguntaban es

15 x 14 / 36 x 35 = 3 x 5 x 2 x 7 / 4 x 9 x 5 x 7= 1/6

(Como 1/3+1/6=1/2, sabemos además que la probabilidad de que, al extraer del cajón al azar dos décimos, uno tenga número par y el otro tenga número impar es 1/2, ya que las probabilidades deben sumar 1).

¿Y si el número de décimos no estuviese entre 30 y 40?

Seguro que alguien se ha preguntado por qué se puso la condición de que el número total de decimos estuviese entre 30 y 40. El motivo es que hay otras situaciones en las que la probabilidad de sacar dos décimos con número par es 1/3, pero la solución al desafío sería otra, por lo que había que singularizar un caso. Por ejemplo:

• Con T=3 y N=2, (2 x 1)/(3 x 2)=1/3, pero la probabilidad de sacar dos décimos con números impares es 0.
• Con T=10 y N=6, (6 x 5)/(10 x 9)=1/3. Como hay 4 décimos con números impares, la probabilidad de sacar dos de estos es (4 x 3)/(10 x 9)= 2/15.
• Con T=133 y N=77, (77 x 76)/(133 x 132)=1/3. En este caso hay 56 décimos con números impares, por lo que la probabilidad de sacar dos de ellos es(56 x 55)/ (133 x 132)=10/57.

De hecho se sabe que hay infinitos pares de números enteros positivos T y N que cumplen la condición de “probabilidad 1/3”. Demostrarlo requiere matemáticas avanzadas, pero daremos unas pinceladas por si a alguien la interesa.

Poniendo T=(x+1)/2 y N=(y+1)/2, con x e y enteros positivos impares, la ecuación N x (N-1)=T x (T-1)/3 se transforma en x^2-3y^2=-2. Esto es un ejemplo de ecuación de Pell generalizada, un tipo de ecuaciones para las que se sabe (aquí entra la teoría de números) que, si tienen una solución en enteros positivos (en nuestro ejemplo valdría x=71, y=41, que corresponde a la solución T=36, N=21 al desafío), entonces tiene infinitas y, además, hay una fórmula explícita para encontrar tantas como se quiera.

Esta fórmula permite evitar el tanteo para encontrar la solución al desafío pero, como primero se me ocurrió la pregunta y solo después vi que aparecía la ecuación de Pell que, además, requiere conocimientos especializados, he preferido dar una solución más artesana.

Las soluciones de los lectores…

Aproximadamente el 92% de las alrededor de 200 soluciones recibidas eran correctas, y prácticamente todas las demás decían que hay tres posibilidades (dos pares, dos impares, un par y un impar) y cada una de ellas se da con probabilidad 1/3. Este error de calcular apresuradamente “casos favorables/casos posibles” es muy frecuente al tratar con probabilidades, y advertir sobre él era uno de los objetivos del desafío.

La gran mayoría de las soluciones correctas han hecho, como nosotros, un tanteo (a mano o a máquina, con 11, 8 o 5 casos) sobre la factorización de T x (T-1)/3, pero algunos lectores han usado la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación cuadrática 3N^2-3N-T(T-1)=0 y luego han buscado para qué valores de T el discriminante 9+12T(T-1) era un cuadrado (con lo que han llegado, como no, a T=36).

Algunos lectores han mencionado la ecuación de Pell y han encontrado valores de T fuera del rango 30-40, y sus correspondientes N, para los que también se daba la “probabilidad 1/3”. Pero también ha habido quienes, como Alfonso L. F. y Pablo L. L. (¿padre e hijo?) o Lourdes V. C., entre otros, han encontrado más de una solución sin apelar a Pell. Roberto N. se ha atrevido incluso a decir que creía que el número de posibles soluciones era infinito y que la probabilidad de dos impares converge asintóticamente a algún valor, pero nos lo ha dejado como ejercicio. Que hay infinitos posibles T ya lo hemos explicado más arriba y, para tranquilidad de Roberto, la probabilidad de dos impares tiende a (4-2 x raíz cuadrada de 3)/3 ≈ 0,1786.

Un reducido número de lectores, sin duda más habilidosos que yo, han sido capaces de deducir que el total de décimos tenía que ser 36 sin hacer ningún tipo de tanteo y sin recurrir a Pell. En general han utilizado argumentos más elaborados de primalidad y divisibilidad para T (observando, entre otras que en el cajón tenía que haber más décimos pares que impares, porque si no la probabilidad de sacar dos pares no podría superar 1/4) . Esto es lo que han hecho, entre otros, Francisco M. e Ignacio Q.. Pero el más original ha sido César C., quien, desde Londres, ha evitado el tanteo con un razonamiento de primalidad y divisibilidad, no sobre el número total de décimos, sino sobre el de décimos pares.

Quiero destacar que en esta ocasión han sido muchos los jóvenes que han participado, entre ellos, nutridos grupos de estudiantes del IES Miguel de Mañara de San José de la Rinconada (Sevilla), del IES As Lagoas de Ourense, y del IES Malala Yousafzai de Madrid, además de Hamady, Victor, Rayan y Clara, del Instituto Clemenceau de Reims, en Francia (este es el segundo año en el que la señora Louyer, profesora ¡de español! en ese centro, anima a sus estudiantes a trabajar sobre el desafío).

…y las soluciones de la IA

Dos lectores nos han dicho que han preguntado a alguna IA por el desafío (puede que otras soluciones se hayan generado así, sin confesarlo, pero no nos importa: esto no es ni un concurso ni un examen). En ambos casos lo que nos cuentan es interesante. Carlos G. S. ha enviado dos respuestas que le ha dado la IA: una manifiestamente absurda y otra totalmente correcta. Está claro que en el primer caso la IA no entendió la pregunta, lo que muestra que, además de saber que la forma de preguntar importa, hay que ser crítico ante lo que la IA nos contesta: si la usamos como una caja negra, podemos cometer errores.

Pero es la experiencia de Antonio Jesús D. la que indica lo útil que puede ser la IA correctamente usada. Como nosotros, ha visto que hay que encontrar soluciones enteras a la ecuación 3N(N-1)=T(T-1) para lo que, dice, “hay dos caminos, el laborioso de hacerlo a mano [escribe las 5 primeras soluciones y continúa]… hasta aquí he llegado. El otro es preguntar a la IA, que nos da todas las soluciones que se deseen (a parte de un cursillo de ecuaciones diofánticas). Me ha servido para oír por primera vez lo de ecuaciones de Pell, y para recordar las ecuaciones diofánticas, totalmente olvidadas, salvo el nombre. Así que más gracias.”

Agradecimientos

Mensajes como ese y la participación de quienes siguen fielmente los desafíos son lo que nos anima a buscar nuevas ideas para este entretenimiento matemático anual. En agradecimiento, la Real Sociedad Matemática Española (RSME) quiere continuar la tradición de regalar un libro a tres de los lectores, en esta ocasión jóvenes, que han aportado soluciones válidas.

Thea de la T. B., alumna de sexto de Primaria en el Colegio Plácido Domingo (no nos dice de qué localidad), la persona más joven que ha enviado una respuesta correcta; Rodrigo M. O., que cursa 4°de ESO en el IES Avenida de los Toreros de Madrid; y Germán M., también estudiante de 4°de ESO, recibirán sendos ejemplares de Desafíos Matemáticos, el libro de la Biblioteca Estímulos Matemáticos (una aventura conjunta de la RSME y Editorial SM) que recoge los 40 primeros desafíos propuestos por EL PAÍS y la RSME en 2011 (¡hace ya casi 15 años!) con ocasión del Centenario de la Sociedad.

En nombre de EL PAÍS, de la RSME y en el mío propio, les deseo feliz Navidad y un nuevo año en el que el mundo sea un poco mejor para sus habitantes menos afortunados y se ponga final a algunos de los conflictos, de todo tipo, que nos afligen, sin sustituirlos por otros nuevos.

Resuelve los desafíos de otros años:

Desafío de 2024: Tu décimo esconde una X

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Desafío de 2023: ¿Cuánto suman todos los dígitos?

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