La duplicidad de los abrazos

El problema de las familias bien avenidas planteado la semana pasada admite varias soluciones, según como se interprete el enunciado. Demos por supuesto que en ambas familias hay hombres y mujeres, como sugiere el contexto, y que cuando dos hombres se abrazan es un único abrazo (parece lo más razonable, pues decimos que Fulano y Mengano se dieron un abrazo, no dos). Sin embargo, para que el beso que x le da a y sea el mismo que y le da a x, tendría que ser un beso en la boca, que no suele ser el caso en las salutaciones interfamiliares, y menos si se dan dos besos por persona cada vez. Así pues, si consideramos que en cada encuentro besucón se dan cuatro besos y llamamos A al número de hombres Hernández, B al número de mujeres Hernández, E al número de hombres Fernández y C al número de mujeres Fernández, tendremos:

A x E = 24

A x C + E x B + B x C = 132/4 = 33

El abordaje “fermiano” del problema consistiría en partir de las descomposiciones verosímiles de 24 en dos factores: 2 x 12, 3 x 8 y 4 x 6, lo que da lugar a ¿cuántas soluciones? Pero, insisto, otras interpretaciones son posibles (ver comentarios de la semana pasada).

Hay una versión más sencilla de este clásico en la que los abrazos son 21, con lo cual, por una parte, se descarta la posibilidad de que cada abrazo valga por dos, y, por otra, solo hay una descomposición verosímil en dos factores: 21 = 3 x 7.

En cuanto al problema de los saludos formales, es muy sencillo si caemos en la cuenta de que en cada apretón de manos -aun siendo uno, como el abrazo- confluyen dos acciones manuales individuales (que para simplificar llamaremos “manotazos”), o sea, 66 x 2 = 132. Si hay n personas en la reunión y cada una da la mano a todas las demás, se producirán n(n-1) “manotazos”, por lo que n(n-1) = 132. Y no hace falta resolver la ecuación de segundo grado para ver que n = 12.

Y por lo que respecta al número de personas que a lo largo de su vida han estrechado un número impar de manos, Bretos Bursó ofrece una ingeniosa solución muy en la línea de la CVA (Cuenta de la Vieja Avanzada):

“Supongamos que en cada apretón de manos alguien separa los dos palitos de una cruz que toma del saco de las cruces y le da uno a cada persona parte del apretón. Todas las cruces y todos los palitos son iguales. En cuanto una persona reúne dos palitos forma una cruz y la tira al pozo de las cruces. En un momento cualquiera, cada persona está sin palitos (si ha dado un número par de apretones) o con un palito (si ha dado un número impar). Pero hasta dicho momento ha salido un número par de palitos del saco, otro número par ha caído al pozo, y la diferencia, que es par, es el número de personas que tienen un palito”.

El tablero rectangular

Quedaban pendientes, desde hace un par de semanas, algunas cuestiones relativas al problema del recorrido del caballo en tableros rectangulares (abordado en su día por el mismísimo Euler), concretamente en el de 3x4. He aquí el detallado análisis de Salva Fuster:

“Al dibujar el grafo asociado al problema del recorrido del caballo para el tablero 3x4, se obtienen dos ciclos (1-7-9-2-8-10-1 y 3-5-11-4-6-12-3) con un par de aristas adicionales que los conectan: 2-11 y 3-10.

Si se empieza desde la esquina superior izquierda (casilla 1) y no se restringe la casilla de llegada, tendremos dos posibilidades:

1-7-9-2-8-10-3-5-11-4-6-12

1-7-9-2-8-10-3-12-6-4-11-5

Si elegimos como casilla de inicio la primera o la última de la segunda fila, tendremos diversas posibilidades. Por ejemplo, si elegimos la casilla 5, los recorridos completos serán:

5-11-4-6-12-3-10-8-2-9-7-1 (coincide con 1-7-9-2-8-10-3-12-6-4-11-5 pero recorrida en sentido inverso)

5-11-4-6-12-3-10-1-7-9-2-8

5-3-12-6-4-11-2-9-7-1-10-8 (simétrica a la anterior)

5-3-12-6-4-11-2-8-10-1-7-9 (invertida y simétrica de 1-7-9-2-8-10-3-12-6-4-11-5)

Si elegimos como casilla de inicio cualquiera que no sea una esquina o cualquier extremo de la segunda fila, no podremos hacer un recorrido completo.

Por lo tanto, si no me equivoco, habrá únicamente 3 soluciones distintas si descontamos simetrías, giros o recorridos en sentido inverso”.