Consistencia relativa de la hipótesis del continuo

Con objeto de ilustrar el significado del último de los grandes teoremas de Gödel, empezaremos aclarando lo que quiere decir que un conjunto tiene un cardinal estrictamente menor que el de otro. En el caso en que ambos conjuntos sean finitos, lo que significa es que el primero tiene menos elementos que el segundo. En general, el cardinal de un conjunto es igual o menor que el de otro si los elementos del primero pueden ponerse en correspondencia con los de un subconjunto del segundo, de forma que cada elemento esté relacionado con uno solo. Y el cardinal de un conjunto es estrictamente menor que el de otro (o simplemente menor) si el del primero es igual o menor que el del segundo, pero el del segundo no es igual o menor que el del primero. En su forma más simple, la hipótesis del continuo afirma que no existe ningún conjunto cuyo cardinal sea mayor que el del conjunto de los números naturales y menor que el de los números reales. Si esto es o no una consecuencia de los axiomas usuales de la teoría de conjuntos era cuestión que ya se había planteado Cantor, pero que aún estaba por resolver en 1938. Tres eran las posibilidades: que de los axiomas de la teoría de conjuntos se siguiera la hipótesis del continuo; que se siguiese su negación; que no se siguiese ninguna de ambas.

Así las cosas, Gödel excluyó la segunda posibilidad construyendo un modelo en el que se verificaban todos los axiomas de la referida teoría, incluido el de elección, y en el que también la hipótesis del continuo era válida. Para la demostración, altamente compleja, Gödel definió la llamada jerarquía de los conjuntos constructibles, cuya aplicación pronto se extendió a otras ramas de la matematica.

En 1963 Paul Cohen dio solución final al problema propuesto por Cantor, excluyendo la primera posibilidad. Cohen probó que la hipótesis del continuo no es consecuencia de los demás axiomas de la teoría de conjuntos, construyendo un modelo en el que todos estos axiomas se verificaban y en el que la hipótesis del continuo era falsa. Se trataba, pues, de una proposición indecidible dentro de la teoría de conjuntos. Sin embargo, quince años antes de que Cohen demostrara su teorema, Gödel había logrado ya probarlo, si bien el resultado jamás fue publicado. Esta información la obtuvo el autor de este artículo a través del profesor Gottlob Hassenjaeger, a quien Gödel comunicó su hallazgo en 1948.

Hito en la historia de la ciencia

A partir de Gödel el desarrollo de la lógica simbólica ha sido prodigioso. Las técnicas utilizadas por primera vez en la demostración de la incompletitud de la aritmética se han ido refinando y los nuevos conceptos que subyacen en esa y otras obras suyas el de recursividad parcial y los conocidos bajo las denominaciones técnicas de creatividad y productividad, entre otros- han sido exhaustivamente estudiados y han dado lugar a una nueva rama de la matemática: la teoría; de la computabilidad o de la recursividad generalizada, que permite abordar con gran abstracción el estudio de los sistemas formales.

Además, a partir de Gödel los esfuerzos de los lógicos, en vez de encaminarse a demostrar propiedades afirmativas de los sistemas formales -el camino trazado por David Hilbert- se orientaron hacia la búsqueda de teoremas de indecibilidad, incompletitud y demás propiedades limitativas, lo que vino a arrojar gran luz sobre los problemas básicos de los fundamentos de la matemática. El desarrollo de las nuevas técnicas iniciado con Gódel permite contemplar hoy como evidente y casi trivial lo que resultó absolutamente sorprendente a los mejores matemáticos del comienzo del siglo. De ahí que, como dijera Von Neumann al serle entregado a Gödel el premio Einstein, la obra de este lógico genial marca un hito en la historia de la ciencia.